ഞാന്‍ ഒരു കണക്കു വിദഗ്ദ്ധനല്ല, കണക്കുകൊണ്ട്‌ നമ്മുടെ പൂര്‍വികര്‍ കളിച്ചിരുന്ന ചില രസകരമായ ചോദ്യങ്ങള്‍ കേട്ടിട്ടുണ്ട്‌. അതു , ഇതിനു മുമ്പ്‌ കേട്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ക്കായി പങ്കു വയ്ക്കുക മാത്രമാണ്‌ ഈ പോസ്റ്റ് കൊണ്ട് ചെയ്യാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്‌. ഇതില്‍ ചിലപ്പോള്‍ പിശകുകള്‍ ഉണ്ടാകാം, അങ്ങനെ എങ്കില്‍ അറിവുള്ളവര്‍ അത് തിരുത്തി പങ്കുവയ്ക്കുന്നതില്‍ സന്തോഷമേ ഉള്ളു.
പണ്ടു കേട്ടവ ചിലതു കുറിച്ചു വച്ചതൊക്കെ പകര്‍ത്തുന്നതേ ഉള്ളു എന്നര്‍ത്ഥം.
200 BC യിലുള്ള പിംഗളാചാര്യന്റെ ഛന്ദശാസ്ത്രത്തിലാണെന്നു കേള്‍ക്കുന്നു പൂജ്യത്തിന്റെ ആദ്യവിശദീകരണം
ഇപ്രകാരം -
"ഗായത്രേ ഷഡ്സംഖ്യാമര്‍ദ്ധേപനീതേ ദ്വ്യങ്കേ അവശിഷ്ട സ്ത്രയസ്തേഷു രൂപമപനീയ ദ്വ്യങ്കാധഃ ശൂന്യം സ്ഥാപ്യം"
ഗായത്രി ഒരുപാദത്തില്‍ ആറക്ഷരങ്ങള്‍, അതിനെ പകുതിയാക്കിയാല്‍ മൂന്ന്‌, അതില്‍ നിന്നും ഒന്നു മാറ്റിയതിനെ പകുതിയാക്കിയാല്‍ ഒന്ന് (3-1) * 1/2 അതില്‍ നിന്നും ഒന്നു മാറ്റിയാല്‍ ശൂന്യം. ഇപ്രകാരം പറയുന്നു.
ഇനി ഒരു ചോദ്യം കേള്‍ക്കണ്ടേ?
"ദ്രമ്മാര്‍ദ്ധത്രിലവദ്വയസ്യ സുമതേ പാദത്രയം യത് ഭവേത്‌
തത്‌ പഞ്ചാംശക ഷോഡശാംശചരണഃ സമ്പ്രാര്‍ഥിതേനാര്‍ഥിനാ
ദത്തോ യേന വരാടകാഃ കതി കദര്യേണാര്‍പ്പിതാസ്തേന മേ
ബ്രൂഹിത്വം യദി വേല്‍സി വല്‍സ ഗണിത ജാതിം, പ്രഭാഗാഭിധാം"
ഇതില്‍ ദ്രമ്മം , കവടി എന്നിവ ദ്രവ്യത്തിന്റെ അളവുകള്‍- ദ്രമ്മം വലിയ അളവും കവടി ചെറിയ അളവും.(എത്ര കവടികള്‍ ആണ് ഒരു ദ്രമ്മം എന്നറിയില്ല- തല്‍ക്കാലമേതെങ്കിലും ഒരു വില സങ്കല്‍പ്പിക്കുക)
ചോദ്യം ഇതാണ്‌. ഒരു ഭിക്ഷക്കാരന്‌ ഒരാള്‍ ഒരു ദ്രമ്മത്തിന്റെ പകുതിയുടെ മൂന്നില്‍ രണ്ടിന്റെ നാലില്‍ മൂന്നിന്റെ അഞ്ചില്‍ ഒന്നിന്റെ ആറില്‍ ഒന്നിന്റെ നാലില്‍ ഒന്നു വരാടികകള്‍ (കവടികള്‍) കൊടുത്തു എങ്കില്‍ എത്ര കവടികള്‍ ആണ് കൊടുത്തത്
ചോദ്യം രണ്ട്‌ permutation combination വിഭാഗം
"പാശാംകുശാഹി ഡമരൂക കപാല ശൂല ഖട്വാംഗശക്തി ശരചാപയുതൈര്‍ഭവന്തി
അന്യോന്യഹസ്ത കലിതൈഃ കതിമൂര്‍ത്തിഭേദാഃ ശംഭോരേരിവഗദാരിസരോജശംഖചക്രൈഃ "
പാശം, അങ്കുശം, സര്‍പ്പം, ഡമരു, കപാലം , ശൂലം, ഖട്വാംഗം, ശക്തി, ശരം ചാപം എന്നീ പത്തു വസ്തുക്കളോടു കൂടിയ ശിവന്‌ എത്രം തരം permutations and combinations സാധ്യമാണ്‌ അതുപോലെ തന്നെ ശംഖം ചക്രം, ഗദ, പങ്കജം എന്നീ നാലെണ്ണം കൊണ്ട് വിഷ്ണുവിന്‌ എത്ര combination സാധ്യമാണ്‌?
ചോദ്യം മൂന്ന്‌
അനുപാതം വിഭാഗം-
"അര്‍ദ്ധേന തൃതീയേന പ്രക്ഷേപേണാഷ്ടമേന യേ വണിജഃ
സപ്തതിരേകേനൂനാ ലാഭസ്തേഷാം കിയാന്‍ കസ്യ"
മൂന്നു കച്ചവടക്കാര്‍ , അവരുടെ ആകെ മൂലധനം 1/2, 1/3, 1.8 എന്നീ അനുപാതത്തിലാണ്‌. ആകെ ലാഭം 70 ല്‍ നിന്നും ഒന്നു കുറവാണെങ്കില്‍ ഓരോരുത്തരുടെയും ലാഭവിഹിതം എത്ര?
ചോദ്യം നാല്‌ പലിശ -
"ജാനാമി ശതസ്യ ഫലം ന ച കിന്തു ശതസ്യ യത്‌ഫലം സഫലം
മാസൈശ്ചതുര്‍ഭിരാപ്തം ഷഡ്വൃദ്ധിം ശതസ്യം മാസോത്ഥാം"
നൂറിന്‌ എത്ര മാസികപലിശ എന്നെനിക്കറിയില്ല പക്ഷെ നൂറിന്റെപലിശയും ആ പലിശയ്ക്ക്‌ അടൂത്ത നാലു മാസങ്ങളില്‍ ഉണ്ടാകുന്ന മാസിക പലിശയും കൂടീച്ചേര്‍ന്നത്‌ 6 ആണ്. എങ്കില്‍ നൂറിനെത്ര പലിശ?
ചോദ്യം അഞ്ച്‌ സഞ്ചാരം വേഗത
"ഏകൗ നാ യോജനാന്യഷ്ടൗ യാത്യന്യോ യോജനാദ്വയം
യോജനാനാം ശതം പന്ഥാ സംഗമഃ ക്വഃ ഗമാഗമേ?
രണ്ട്‌ മനുഷ്യര്‍ സഞ്ചരിക്കുന്നു. ഒരിടത്തു നിന്നും ഒരേ സമയത്തു പുറപ്പെടുന്നു. ഒരാള്‍ ഒരു ദിവസം 8 യോജന വേഗതയിലും മറ്റേ യാള്‍ ഒരു ദിവസം 2 യോജന വേഗത്തിലും. പോകേണ്ട ദൂരം 100 യോജന ആണെങ്കില്‍ ഇവര്‍ എവിടെ വച്ചു വീണ്ടൂം കണ്ടു മുട്ടും?
ബോറടീച്ചോ എങ്കില്‍ തല്‍ക്കാലം നിര്‍ത്താം
ഇവയുടെ ഉത്തരം അറിയാവുന്നവര്‍ (വലിയ മഹാകാര്യമൊന്നും അല്ല എങ്കിലും ) തമാശയ്ക്കായി എഴുതിയിട്ടാല്‍ അതും നന്നായിരിക്കും. അതുകൊണ്ട്‌ ഉത്തരങ്ങള്‍ ഞാന്‍ ഇപ്പോള്‍ എഴുതുന്നില്ല
Subscribe to:
Post Comments (Atom)
ഞാന്‍ ഒരു കണക്കു വിദഗ്ദ്ധനല്ല, കണക്കുകൊണ്ട്‌ നമ്മുടെ പൂര്‍വികര്‍ കളിച്ചിരുന്ന ചില രസകരമായ ചോദ്യങ്ങള്‍ കേട്ടിട്ടുണ്ട്‌. അതു , ഇതിനു മുമ്പ്‌ കേട്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ക്കായി പങ്കു വയ്ക്കുക മാത്രമാണ്‌ ഈ പോസ്റ്റ് കൊണ്ട് ചെയ്യാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്‌. ഇതില്‍ ചിലപ്പോള്‍ പിശകുകള്‍ ഉണ്ടാകാം, അങ്ങനെ എങ്കില്‍ അറിവുള്ളവര്‍ അത് തിരുത്തി പങ്കുവയ്ക്കുന്നതില്‍ സന്തോഷമേ ഉള്ളു
ReplyDeleteഎത്ര ദ്രമ്മമാണ് ഒരു കവടി എന്നറിയാതെ എങ്ങിനെ കണ്ട് പിടിക്കും?
ReplyDeleteഎതായാലും ആന്‍സര്‍ മുന്നൂറീല്‍ ഒന്നാവണം... ഒരു ദ്രമ്മം 900 ആണെങ്കില്‍ കൊടുത്തത് 900/300 = 3 കവടികള്‍
ഇതു പറയാന്‍ അല്ല വന്നത്... അവസാനത്തെ റ്റൈപ് ചോദ്യത്തിനുത്തരം as per calvin the great :
Qn : -Mr. Jones lives 50 miles away from you. You both leave home at 5:00 and drive toward each other. Mr. Jones travels at 35 mph and you drive at 40 mph. At what time will you pass Mr. Jones on the road?
കാല്‍‌വിന്‍ :-Given the traffic around here at 5:00 who knows?
I always catch these trick questions. :)
“200 BC യിലുള്ള പിംഗളാചാര്യന്റെ ഛന്ദശാസ്ത്രത്തിലാണെന്നു കേള്‍ക്കുന്നു പൂജ്യത്തിന്റെ ആദ്യവിശദീകരണം” എന്നതു് അല്പം തെറ്റിദ്ധാരണാജനകമാണു്. ഈ പോസ്റ്റിൽ പറഞ്ഞിട്ടുള്ള ഒന്നും പിംഗളൻ പറഞ്ഞതല്ല.
ReplyDeleteപിംഗളന്റെ ഛന്ദഃസൂത്രം ഇവിടെ ഉണ്ടു്. അതിൽ “ഗായത്രേ ഷഡ്സംഖ്യാമര്‍ദ്ധേപനീതേ ദ്വ്യങ്കേ അവശിഷ്ട സ്ത്രയസ്തേഷു രൂപമപനീയ ദ്വ്യങ്കാധഃ ശൂന്യം സ്ഥാപ്യം” എന്ന സൂത്രം ഇല്ല. അതു് ഏതെങ്കിലും വ്യാഖ്യാനത്തിൽ ഉള്ളതാവണം. പത്താം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഹലായുധൻ ആണു് പിംഗളന്റെ പ്രധാന വ്യാഖ്യാതാവു്. ഹലായുധന്റെ പല വാക്കുകളും പിംഗളന്റേതെന്നു പറഞ്ഞു പ്രചരിക്കുന്നുണ്ടു്.
മൂലം മനസ്സിലാക്കാൻ വ്യാഖ്യാനങ്ങളെ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ തെറ്റില്ല. പക്ഷേ, കാലനിർണ്ണയത്തിലും മറ്റും അതു പാടില്ല.
ബാക്കിയുള്ളവയിൽ മിക്കതും ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ലീലാവതിയിൽ ഉള്ളതാണെന്നു തോന്നുന്നു. നല്ല പ്രശ്നങ്ങളാണു് അവ.
ദ്രമ്മവും വരാടകവും പണത്തിന്റെ അളവുകളാണു് എന്നാണു് എന്റെ ഓർമ്മ. ലീലാവതി ഇപ്പോൾ കയ്യിലില്ല. ഓർമ്മയിലുള്ളതു്:
വരാടകാനാം ദശകദ്വയം യത്
സാ കാകിണീ താശ്ച പണശ്ചതസ്രഃ
തേ ഷോഡശോ ദ്രമ്മ....
അതായതു്, 20 വരാടകം = കാകിണി, 4 കാകിണി = പണം, 16 പണം = ദ്രമ്മം. അതുകൊണ്ടു് 1 ദ്രമ്മം = 1280 വരാടകം.
ശ്രീഹരിക്കു ഈ 300 എവിടന്നു കിട്ടി? എനിക്കു 480 ആണല്ലോ കിട്ടുന്നേ? x കവടി ആണു് ഒരു ദ്രമ്മമെങ്കിൽ x/480 അല്ലേ കിട്ടേണ്ടതു?
ReplyDeleteഷോഡശം പതിനാറാണു് - ഡോ. പണിക്കർ പറഞ്ഞതു പോലെ ആറല്ല. ദ്രമ്മം 1280 വരാടകവുമാണു്. അപ്പോൾ ഇതിന്റെ ഉത്തരം 1280 x 1/2 x 2/3 x 3/4 x 1/5 x 1/16 x 1/4 = 1 ആണു്. ശ്രീഹരിയും ജോഷിയും എന്താണു ചെയ്തതെന്നു് എനിക്കൊരു പിടിയും കിട്ടുന്നില്ല.
ReplyDeleteഇതു ഭിന്നസംഖ്യകൾ തമ്മിൽ ക്രിയ ചെയ്യുമ്പോൾ താഴെയും മുകളിലുമുള്ള ഒരേ സംഖ്യകൾ വെട്ടിക്കളയാം എന്നതിന്റെ എക്സർസൈസാനെന്നു തോന്നുന്നു.
രണ്ടാം ചോദ്യത്തിൽ ശിവനു പത്തു കൈയുണ്ടെന്നും അതിൽ ഓരോന്നിലും ഓരോ ആയുധം ധരിക്കാം എന്നും മനസ്സിലാക്കണം. അതനുസരിച്ചു് ആദ്യത്തേതിൽ 10 ആയുധം, രണ്ടാമത്തേതിൽ ബാക്കിയുള്ള 9, മൂന്നാമത്തേതിൽ 8 എന്നിങ്ങനെ മൊത്തം 10 x 9 x 8 x ... x 1 = 10! = 3628800 മൂർത്തിഭേദങ്ങൾ ഉണ്ടാവാം. നാലു കൈയുള്ള വിഷ്ണുവിനു് 4! = 24 മൂർത്തിഭേദങ്ങളും.
ReplyDeleteഅഞ്ചാം ചോദ്യം രസമാണല്ലോ. രണ്ടു പേരും ഒരിടത്തു നിന്നു പുറപ്പെട്ടാൽ അവർ പിന്നെ ഒരിടത്തും കൂട്ടിമുട്ടില്ല. അല്ലെങ്കിൽ ആമയും മുയലും കഥയിലെ മുയലിനെപ്പോലെ ഒരാൾ ഇടയ്ക്കു് ഉറങ്ങണം. അവർ നൂറു യോജന ദൂരത്തിന്റെ രണ്ടു് അറ്റത്തു നിന്നും ആണു പുറപ്പെട്ടതു്. “ഗമാഗമേ” എന്നുണ്ടു ചോദ്യത്തിൽ. ഗമവും ആഗമവും. ഒരാൾ പോകുകയും മറ്റേയാൾ വരികയും ആണെന്നർത്ഥം. അവർ തമ്മിലുള്ള ആപേക്ഷികവേഗത ഒരു ദിവസത്തിൽ 2 + 8 = 10 യോജന ആയതിനാൽ 10 ദിവസം കൊണ്ടു് അവർ കൂട്ടിമുട്ടും എന്നർത്ഥം.
ഒരു സംശയം. ശ്ലോകങ്ങളുടെ അർത്ഥം ഡോ. പണിക്കർ ഏതെങ്കിലും പുസ്തകം നോക്കിയെഴുതിയതാണോ? ആണെങ്കിൽ ആ പുസ്തകം നിറയെ അബദ്ധമാണല്ലോ.
ശ്രീഹരീ ഹ ഹ ഹ ഞാനും ആ ഗണത്തില്‍ പെടുന്നവനാണേ. ട്രാഫിക്‌ ജാം ഇല്‍ പെട്ടു പോകും കൂട്ടിമുട്ടത്തില്ല.
ReplyDelete"ഞാന്‍ ഒരു കണക്കു വിദഗ്ദ്ധനല്ല, കണക്കുകൊണ്ടു നമ്മുടെ പൂര്‍വികര്‍ കളിച്ചിരുന്ന ചില രസകരമായ ചോദ്യങ്ങള്‍ കേട്ടിട്ടുണ്ട്‌. അതു , ഇതിനു മുമ്പ്‌ കേട്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ക്കായി പങ്കു വയ്ക്കുക മാത്രമാണ്‌ ഈ പോസ്റ്റ് കൊണ്ട് ചെയ്യാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്‌. ഇതില്‍ ചിലപ്പോള്‍ പിശകുകള്‍ ഉണ്ടാകാം, അങ്ങനെ എങ്കില്‍ അറിവുള്ളവര്‍ അത് തിരുത്തി പങ്കുവയ്ക്കുന്നതില്‍ സന്തോഷമേ ഉള്ളു.
പണ്ടു കേട്ടവ ചിലതു കുറിച്ചു വച്ചതൊക്കെ പകര്‍ത്തുന്നതേ ഉള്ളു എന്നര്‍ത്ഥം."
ഇതു ഞാന്‍ തുടക്കത്തിലെഴുതിയത്‌. അല്ലാതെ ഞാന്‍ സ്വന്തമായി ഉണ്ടാക്കി എഴുതിയതല്ല, ഞാന്‍ കുറിച്ചു വച്ചിരുന്നവ പകര്‍ത്തിയതാണ്‌. കണക്കില്‍ വലിയ പിടിപാടില്ലാത്തതു കൊണ്ട് തെറ്റുകള്‍ എനിക്കു മനസ്സിലാകില്ല. അതുകൊണ്ടാണ്‌ മുന്‍ കൂര്‍ ജാമ്യം എടുത്തത്‌
ഈ വിഷയത്തില്‍ Dr.N.Gopalakrishnan ന്റെ The Indian Scientific Heritage എന്ന പുസ്തകം റഫര്‍ ചെയ്തു . അതില്‍ കാണുന്നത് രണ്ടു പേരും ഒരുമിച്ചു യാത്ര തുടങ്ങുകയും , ആദ്യത്തെയാള്‍ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി മടങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നാണ്‌ അവ അതുപോലെ പകര്‍ത്താം
One man travels at 8 yojana speed per day. another travels at 2 yojana per day, starting simultaneously from the same place. After reaching destination the first man comes back. If the length of the track is 100 yojana say where is the meeting place of the two (One going forward and the other traveller returning)
This problem is not only a mathematical puzzle but also gives information on the curiosity of mathematicians to find out the speed of travelling,disrtance etc. Solution for the above problem has been discussed by Bhaskaracharya and other mathematicians. Time taken by the first traveller to reach the destnation(i.e 100/8 days) and his return is to be calculated separately. The distace travelled by the second during the above number of days is also to be calculated. Then the distance is to be devided by the sum of speeds. {Two problems of the same nature are given by Bhaaskarabhashya to Aryabhateeya (131.1 & 131.2)
സാര്‍ദ്ധം യോജനമേകൊ വലഭീതോ യാത്യസൗ ദിനേനൈവ ആഗഛതി ഹരൂകചാത്‌ പാദയുതം യോജനം ഹ്യപരഃ അന്തരമനയോര്‍ ദൃഷ്ടം ത്വഷ്ടാവംശയോജനാനി പഥികേന വാച്യം യോഗഃ കിയതാ കാലേനാഭൂത്തയോര്‍ഗ്ഗണകഃ"
One man goes from valabhi at the speed of 1 1/2 yojana per day. Another man comes along the same route from Harukacha at the speed of 1 1/4 yojana per day. The distance between the two is known to be 18 yojanas. Say when will they meet each other.
If T denotes the time of meeting 1 1/2 T + 1 1/4 T = 18, giving the tme as 6 6/11 days. The second problem is also interesting. It is as follows :
കൂടുതല്‍ വിസ്തരിക്കുന്നില്ല. താല്‍പര്യമുള്ളവര്‍ വായിച്ചു നോക്കുക
The indian Scientific Heritage" by Dr.N.Gopalakrishnan
ഇീ പുസ്തകം കുറെ നാളുകളായി കയ്യില്‍ വച്ചിരുന്നിറ്റ്റ്റും നോക്കാതിരിക്കുകയായിരുന്നു. ഇപ്പോള്‍ വായിക്കുവാന്‍ കാരണമാക്കിയ ഉമേഷിന്റെ കമന്റിനോടുള്ള നന്ദി അറിയിക്കുന്നു.
ഇനി മുഴുവന്‍ വായിച്ചു നോക്കറ്റ്റ്റെ . എന്നിറ്റ്റ്റെഴുതാം.
പക്ഷെ കണക്കിന്റെ ആധികാരികതയൊന്നും പറയുവാന്‍ ഞാന്‍ ആളല്ല മുമ്പു പറഞതു പോലെ.
ഉമേഷ് ജീ,
ReplyDeleteതാങ്കള്‍ ചെയ്ത പോലുള്ള ഭിന്നക്രിയ ചെയ്തെന്നേ ഉള്ളൂ... നല്ല ശ്രദ്ധ ആയത് കൊണ്ട് തെറ്റിപ്പോയി...
ജോഷിയുടെ ഉത്തരം ശരിയാണ് ( as per qn from indiaheritage)
ഷോഡശം ആറ് എന്നെടുത്ത് ചെയ്താല്‍ അങ്ങനെ കിട്ടും.. അങ്ങനെ അല്ലെങ്കില്‍ അത് തെറ്റും ആണ്.
ഡിഗിപരീക്ഷ കഴിഞ്ഞ് ഇത്രയും കട്ടിയുള്ള ചോദ്യങ്ങള്‍ കാണുന്നത് ഇപ്പോഴാണ്...
ReplyDeleteഈ പോസ്റ്റ് പരീക്ഷയാക്കിയാല്‍ എനിക്ക് മൊട്ട കിട്ടും. ഉറപ്പ്.....
total confusion?
ReplyDeleteമൂന്നു കച്ചവടക്കാര്‍ , അവരുടെ ആകെ മൂലധനം 1/2, 1/3, 1.8 എന്നീ അനുപാതത്തിലാണ്‌. ആകെ ലാഭം 70 ല്‍ നിന്നും ഒന്നു കുറവാണെങ്കില്‍ ഓരോരുത്തരുടെയും ലാഭവിഹിതം എത്ര?
1.8 or 1/8? if 1/8, some else is also required to fullfill the total investment?
മുക്കുവന്‍ ജി,
ReplyDelete"
1.8 or 1/8? if 1/8, some else is also required to fullfill the total investment?
"
എഴുതി വച്ചിരുന്നതിന്റെ കുഴപ്പമാണെന്നു തോന്നുന്നു. അന്നിതൊന്നും പഠിച്ചല്ല, കണ്ടതൊക്കെ കുറിച്ചു വച്ചെന്നെ ഉള്ളു. 1.8 അല്ല 0.18 ആയിരിക്കണം അപ്പോള്‍ ആകെ 1.01 വരുന്നു (0.5+0.33+0.18). ആ 0.01 സാരമില്ലായിരിക്കും.
1.8 അല്ല, 0.18-ഉം അല്ല, 1/8 തന്നെയാണു്. “അഷ്ടമേന” എന്നാണല്ലോ ശ്ലോകത്തിൽ.
ReplyDeleteഎന്തായാലും അക്കാലത്തു് 1.8, 0.18 എന്നൊക്കെ ഉണ്ടാവാൻ വഴിയില്ല. ഭാരതീയർ ഭിന്നസംഖ്യകളേ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുള്ളൂ, ദശാംശഭിന്നകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നില്ല. പൈയുടെ വിലയും മറ്റും അവർ പറഞ്ഞിരുന്നതു് ഭിന്നസംഖ്യകളായാണു്. 3.1416 എന്നല്ല.
അഞ്ചാം പ്രശ്നത്തിൽ ഗമാഗമേ എന്നതിനു് ആ അർത്ഥവും പറയാം. അപ്പോൾ പ്രശ്നം കൂടുതൽ രസകരമാവും.
ReplyDeleteഒരു ദിവസം 8 യോജന താണ്ടുന്നവനു 100 യോജന താണ്ടാൻ പന്ത്രണ്ടര ദിവസം വേണം. ആ സമയം കൊണ്ടു് മറ്റവൻ 25 യോജന താണ്ടും. ബാക്കിയുള്ള 75 യോജന താണ്ടാൻ അവരുടെ ആപേക്ഷിക-വേഗത (എതിരേ നടക്കുമ്പോൾ) 2+8=10 ആയതിനാൽ 75/10 = ഏഴര ദിവസം വേണം. അങ്ങനെ മൊത്തം ഇരുപതു ദിവസം കൊണ്ടു് അവർ കണ്ടുമുട്ടും. അപ്പോൾ വേഗത കുറഞ്ഞവൻ 20 x 2 = 40 യോജനയും മറ്റേയാൾ 20 x 8 = 160 = 100 (അങ്ങോട്ടു്) + 60 (ഇങ്ങോട്ടു്) യോജനയും പോയിട്ടുണ്ടാവും.
ഈ പ്രശ്നം ചെയ്യാൻ ഇത്രയൊന്നും ബുദ്ധിമുട്ടണ്ടാ എന്നതാണു മറ്റൊരു വസ്തുത. കൂട്ടിമുട്ടുമ്പോൾ രണ്ടുപേരും കൂടി 200 യോജന സഞ്ചരിച്ചിട്ടുണ്ടാവും. ഒരാൾ മറ്റേയാളെക്കാൾ നാലിരട്ടി വേഗത്തിൽ പോകുന്നതിനാൽ (പ്രത്യേകവേഗത പ്രസക്തമല്ല) ഈ 200-ന്റെ അഞ്ചിലൊന്നു് വേഗത കുറഞ്ഞവനും അഞ്ചിൽ നാലു് വേഗത കൂടിയവനും ആണു പോയതു്. അതായതു് യഥാക്രമം 40, 160.
ഇതു കേട്ടപ്പോൾ പിൽക്കാലത്തുണ്ടായ വേറേ രണ്ടു ചോദ്യങ്ങൾ ഓർമ്മ വന്നു.
1) സാം ലോയ്ഡിന്റെ ബോട്ട് പ്രശ്നം.
2) John von Neumann-നുമായി ബന്ധപ്പെട്ട, ട്രെയിൻ-ഈച്ച പ്രശ്നം.
ലോകത്ത് നാലില്‍ അഞ്ചു പേര്‍ക്കേ ഭിന്നസംഖ്യയെന്ന ആശയം മനസിലായിട്ടുള്ളൂ എന്നു പറയുന്നത് വെറുതെ അല്ല ;)
ReplyDeleteകൊള്ളാം.
ReplyDeleteനമുക്ക് കൈവെക്കാന്‍ പറ്റിയ മേഖലയല്ല.
ആ ലാഭവിഹിത ചോദ്യത്തില്‍ 1/8 ആവാനാണ് സാദ്ധ്യത. ഉമേഷും അത് പറഞ്ഞല്ലോ.
മൂലധനത്തിന്റെ ടോട്ടല്‍ ഒന്ന് കിട്ടുന്നുമില്ല.
23/24 അല്ലെ വരുന്നുള്ളൂ.
:)
ദ്രമ്മം കവടി എന്നിവ ചേര്‍ത്തുള്ള ചോദ്യവും ഉത്തരവും ദാ ഇവിടെ കണ്ടു അതൊരു പടമാക്കി പോസ്റ്റുന്നു
ReplyDeletethird Q:
ReplyDelete1/24 belongs to me.. free money for me :)
then returns 69/2,69/3,69/8 and 69/24?
ശ്രീഹരി പറഞ്ഞ ആ അഞ്ചാമനാണെ ഞാന്‍. അതുകൊണ്ട്‌ ഹ ഹ ഹ :)
ReplyDeleteഈ ത്രെഡ് മിക്കവാറും തീർന്നതുകൊണ്ടു പറയാം. കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റു വായിച്ചപ്പോഴേ ഡോ. പണിക്കർ നോക്കുന്ന പുസ്തകം ഡോ. ഗോപാലകൃഷ്ണന്റെ ഏതെങ്കിലും പുസ്തകമാണു് എന്നു മനസ്സിലായിരുന്നു. പൈയുടെ കൃത്യമായ വില 22/7 = 3.142857 എന്ന മണ്ടത്തരം ആ പുസ്തകങ്ങളിലുണ്ടെന്നു മാത്രമല്ല, ആഗ്നേയാസ്ത്രമെന്നാൽ ആറ്റം ബോംബല്ല എന്നാണു് അതിന്റെ പ്രസ്താവന തുടങ്ങുന്നതും. (വേറേ ഒരു എട്ടൊമ്പതു കാര്യങ്ങൾ കൂടിയുണ്ടു്).
ReplyDeleteഡോ. ഗോപാലകൃഷ്ണന്റെ പുസ്തകങ്ങളിൽ ഗണിതവും ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഭാഗങ്ങൾ മാത്രമേ ഞാൻ വായിച്ചിട്ടുള്ളൂ. കെമിസ്ട്രി, ബയോളജി, വൈദ്യം തുടങ്ങിയവയെപ്പറ്റിയും അദ്ദേഹം എഴുതിയിട്ടുണ്ടു്. അവയുടെ സാധുതയെപ്പറ്റി എനിക്കറിയില്ല. പക്ഷേ, ഗണിതത്തിൽ ധാരാളം തെറ്റുകൾ ഞാൻ കണ്ടിട്ടുണ്ടു്.
അതിനാൽ, ഗണിതത്തെപ്പറ്റിയുള്ള പോസ്റ്റുകൾ അതിൽ നിന്നു് പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ കണക്കറിയാവുന്ന ആരെയെങ്കിലും ഒന്നു കാണിക്കുന്നതു നന്നായിരിക്കും.
ഇതു നേരത്തേ പറഞ്ഞാൽ പോസ്റ്റുകളുടെ വിഷയം തെറ്റി ഡോ. ഗോപാലകൃഷ്ണനും പ്രഭാവലയവും മതപ്രസംഗവും ഒക്കെ ആകുമെന്നുള്ളതുകൊണ്ടാണു നേരത്തേ പറയാഞ്ഞതു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ മതപ്രസംഗങ്ങൾ നല്ലതാണെന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. എങ്കിലും ശാസ്ത്രമെന്നു പറഞ്ഞു് ഒരുപാടു തെറ്റുകൾ അദ്ദേഹം ഈ പ്രസംഗങ്ങളിലൂടെ പ്രചരിപ്പിക്കുന്നുണ്ടു്.
മൂന്നാം ചോദ്യം:
ReplyDeleteകച്ചവടക്കാരുടെ മൂലധനം 1/2:1/3:1/8 എന്ന അനുപാതത്തിലാണു്. (ബാക്കി 1/24 എവിടുന്നെങ്കിലും അടിച്ചുമാറ്റിയതാവാം.) അതായതു് 12:8:3 എന്ന അനുപാതം. അതിനാൽ ലാഭത്തിന്റെ 12/23, 8/23, 3/23 ഇവ അവർക്കു കിട്ടണം. 69-നെ ഇങ്ങനെ വിഭജിച്ചാൽ യഥാക്രമം 36, 24, 9 വീതം.
ഇതു് ഏതു പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ളതാണു്? ലീലാവതി അല്ല. ഉത്തരം ഇതു തന്നെയാണോ?
നാലാമത്തെ ചോദ്യം അങ്ങനെ തന്നെ ആണോ? ശ്ലോകത്തിൽ തെറ്റുണ്ടു്. എന്താണു ശതസ്യം എന്നു വെച്ചാൽ? ഷഡ്വൃദ്ധിം എന്നു വെച്ചാൽ ആറു് എന്നാണോ?
ReplyDeleteഅർത്ഥം കൊടുത്തതനുസരിച്ചു നോക്കിയാൽ (106/100)ന്റെ നാലാമത്തെ മൂലത്തിൽ (അഞ്ചു മാസം കൂട്ടിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അഞ്ചാമത്തെ മൂലം) നിന്നു് ഒന്നു കുറച്ചതാണു് പലിശയുടെ നിരക്കു് എന്നു വരുന്നു. അതായതു്, ഏകദേശം 1.467%.
ഈ നിരക്കു വെച്ചു് കണക്കു കൂട്ടി രണ്ടു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനു റൌണ്ടു ചെയ്താൽ ഇങ്ങനെ കിട്ടും.
ആദ്യത്തെ മാസത്തിൽ പലിശ = 1.467, മൊത്തം മുതൽ = 101.47
രണ്ടാം മാസത്തിൽ പലിശ = 1.49, മൊത്തം മുതൽ = 102.96
മൂന്നാം മാസത്തിൽ പലിശ = 1.51, മൊത്തം മുതൽ = 104.47
നാലാം മാസത്തിൽ പലിശ = 1.53, മൊത്തം മുതൽ = 106.00
മൊത്തം കിട്ടിയ പലിശ = 6
ഇതാണു് ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു് എന്നു തോന്നുന്നില്ല. ഭാരതീയഗണിതജ്ഞർ സാധാരണയായി കൃത്യമായി ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാവുന്ന ചോദ്യങ്ങളേ കൊടുക്കാറുള്ളൂ. ഇവിടെ എന്തോ ഒരു പന്തികേടു്.
ഇതിന്റെ ഉത്തരവും ചെയ്യുന്ന വിധം ആ പുസ്തകത്തിൽ വിശദീകരിക്കുന്നതും കൂടി ഒന്നു പോസ്റ്റു ചെയ്യാമോ?